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1 Géométrie hyperbolique

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1 Géométrie hyperbolique 1.1 Demi-plan de Poincaré Le demi plan de Poincaré H est l ensemble des complexes z de partie imaginaire > 0. Il est muni de la métrique riemannienne ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 pour
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1 Géométrie hyperbolique 1.1 Demi-plan de Poincaré Le demi plan de Poincaré H est l ensemble des complexes z de partie imaginaire 0. Il est muni de la métrique riemannienne ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 pour laquelle les géodésiques sont les cercles centrés sur l axe des x ou les demi-droites perpendiculaires à cet axe. B A B A Pour mémoire, les symboles de Christoffel sont (g i,j ) = [ 1 0 y y 2, Γ 1 11 = 0 Γ 1 22 = 0 Γ 1 12 = 1 y Γ 1 21 = 1 y Γ 2 11 = 1 y Γ 2 22 = 1 y Γ 2 12 = 0 Γ 2 21 = 0. La distance géodésique ou hyperbolique entre les points z = x + iy et z = x + iy est donnée par la formule ch(d(z, z )) = (x x ) 2 + y 2 + y 2 dans tous les cas, d(z, z ) = 0 2yy ln(y y ) si x = x. L élément d aire est dx dy y 2. L aire d un triangle de sommets A, B et C (et d angles aux sommets Â, ˆB et Ĉ) est π Â ˆB Ĉ. 1 Si les trois angles sont à l infini (deux sur l axe des x et un en haut par exemple) l aire est π. B C A C A B 1.2 Action du groupe des homographies réelles Soit Ce groupe agit sur H par [ a b SL(2, R) = {γ = : a, b, c, d R, ad bc = 1} γ z = az + b cz + d = [(ax + b)(cx + d) + acy2 + iy (cx + d) 2 + (cy) 2. On remarque que γ et γ agissent de la même façon, ce qui permet de considérer P SL(2, R) = SL(2, R)/{I, I}. C est l ensemble des automorphismes de H. Propriétés : La métrique, la distance hyperbolique, l aire sont invariantes sous l action de (P )SL(2, R). Les géodésiques sont transformées en géodésiques. Le point i est laissé invariant par SO(2) (les rotations). Le groupe (P )SL(2, R) agit transitivement sur H (une seule orbite : on peut envoyer n importe quel point de H sur n importe quel autre ). Le demi plan H est un espace homogène. C est le quotient SL(2, R)/SO(2, R). On identifie un point z de H à l ensemble des homographies qui envoient i sur z. Cercles [ isométriques a b Soit γ = est un élément de SL(2, R). Si z = x + iy H, notons Z = X + iy = γ z. On a la relation : ( X a ) 2 + Y 2 = c Donc si c 4 [ (x + d c 1 ) 2 + y 2. (x + d c )2 + y 2 r 2, alors (X a c )2 + Y 2 1 c 4 r 2. 2 On appelle cercle isométrique de γ le cercle de centre α = d et de rayon c c 1. Ce cercle est transformé par γ en le cercle de centre a et de même rayon (qui est le cercle isométrique de c γ 1 ). L intérieur du cercle isométrique de γ est envoyé sur l extérieur du cercle isométrique de γ Classification des homographies complexes Soit SL(2, C)/{ I, I}. C est l ensemble des homographies complexes. Elles ne conservent pas le demi-plan mais c est plus commode pour classer et conjuguer. On considérera qu elles vont de C { } = C dans lui-même en convenant que g = a +b c +d = a c (= si c = 0), g d c =. Résultat 1 Si (α, β, γ) et (α, β, γ ) sont deux triplets de points deux à deux distincts de C, il existe une unique homographie g telle que g α = α, g β = β, g γ = γ. On passe par 0, 1,. Résultat 2 les homographies conservent le birapport : (α, β, γ, δ) C, [g(α), g(β), g(γ), g(δ) = [α, β, γ, δ,. avec [α, β, γ, δ = α γ β γ : α δ β δ. Résultat 3 Soient deux familles de quatre éléments distinct de C, (z i ) 1 i 4 et (z i ) 1 i 4. Il existe une homographie g vérifiant g(z i ) = z i, 1 i 4 si et seulement si [z 1, z 2, z 3, z 4 = [z 1, z 2, z 3, z 4. Définition 4 Une homographie différente[ de l identité est dite parabolique si elle a un seul a b point fixe dans C. Une homographie g = est parabolique si et seulement si sa trace vaut ±2. L homographie est alors conjuguée à la translation z z + 1. [ a b Résultat 5 Soit g = une homographie non parabolique (et pas l identité). Alors g a deux valeurs propres distinctes λ et µ et elle est conjuguée à l homographie z λ z (qui a µ pour points fixes 0 et ). Si le rapport λ est réel 0, l homographie est hyperbolique, si le µ rapport est de module 1, l homographie est dite elliptique. Si λ est dans C privé du cercle unité, µ l homographie est loxodromique (cela comprend le cas hyperbolique). Dans le cas où g est une matrice réelle de trace ±2, les valeurs propres λ et µ sont réelles et de même signe si a + d 2, complexes conjuguées de module 1 si a + d 2. 3 2 Sous-groupes discrets 2.1 Généralités Définition 6 (Maskit) Un sous-groupe G du groupe P SL(2, C) agit de manière discontinue en z 0 de C { } si z 0 admet un voisinage V, tel que γ V V seulement pour un nombre fini d éléments γ de G. L ensemble des points auxquels G agit discontinument est appelé set of discontinuity ou regular set et se note Ω = Ω(G). Résultat 7 Un point x est dans Ω(G) si et seulement Stab(x) est fini et x a un voisinage U tel que γ U = U pour tout γ Stab(x) et γ U U = pour tous les autres γ. Définition 8 Un sous-groupe G du groupe P SL(2, C) agit sur C de manière librement discontinue (Maskit) s il existe un point z 0 de C { } admettant un voisinage V qui vérifie la condition suivante : γ G \ {id}, γ V V =. Le voisinage V est appelé convenable et le groupe G est dit kleinien (Maskit). L ensemble des points z 0 admettant un voisinage convenable est ouvert et on le note 0 Ω(G) et on l appelle free regular set. C est plus restrictif car le voisinage est disjoint de tous les autres et non de tous les autres, sauf un nombre fini. Résultat 9 L ensemble 0 Ω(G)/G est un espace séparé (Hausdorff). Un groupe Kleinien est discret mais la réciproque n est pas vraie (Maskit) mais j ai pas regardé le contreexemple. En revanche, un sous groupe discret de P SL(2, R) agit discontinument en tout point de H. Conséquence de la définition du groupe L 2 des isométries (directes et indirectes) de H, du fait que P SL(2, R) est canoniquement isomorphe à L 2+ (isométries directes) et du résultat, valable pour un sous-groupe discret de L Critères et implications variés [ Soit G un groupe agissant librement discontinument. On suppose que 0 Ω(G). Si g = a b est l élément générique de G, aucun g différent de l identité n a son coefficient c nul (car ces éléments fixent ). On a Résultat 10 Si 0 Ω(G), alors g G,g id c 4 +. preuve technique. Il faut estimer par la somme des mesures des g(u) (sur la sphère) où U est un voisinage convenable de et mettre ca en rapport avec le diamètre des cercles isométriques des transformations. Résultat 11 Supposons que 0 Ω(G). Soit (g n ) une suite injective d éléments de G, (ρ n = 1 c n ) étant la suite des rayons des cercles isométriques. Alors ρ n 0. 4 Autres trucs techniques mais des fois ca pourrait servir Résultat 12 Si f et g sont des éléments non triviaux de P SL(2, C), avec f loxodromique, si f et g ont exactement un point fixe en commun, alors f, g n est pas discret. Résultat 13 Inégalité de Jørgensen On suppose que f et g engendrent un sous-groupe discret de P SL(2, C), que f est loxodromique, que f et g n ont pas de point fixe en commun et que g ne laisse pas invariant l ensemble des points fixes de f. Alors tr 2 (f) 4 + tr([f, g) 2 1. Un groupe de transformations de Möbius engendré par deux générateurs f et g est caractérisé, à conjugaison près, par trois nombres complexes, ses paramètres. Un choix de paramètres est le suivant : γ(f, g) = tr([f, g) 2, β(f) = tr 2 (f) 4, β(g) = tr 2 (g) 4. (Gehring Gilman Martin qui se réfèrent à Leutbecher, Shimizu et Jørgensen). L article cité en référence étudie les groupes de paramètres (γ, β, 4) avec β et γ réels et décrit la région du plan pour laquelle ces groupes sont discrets. On peut citer le lemme Résultat 14 On suppose que f, g a pour paramètres (γ, β, 4) avec γ β et que f est un élément primitif elliptique d ordre q 3, c est-à dire qu il correspond à une rotation d angle ± 2π. Alors f, g est discret ssi l une des conditions suivantes est réalisée : q γ β = 4 cos 2 (π/r) pour un certain entier r 2q. q 2 γ β 4. γ β = (β + 2) 2 et q est impair. Il y en a un autre avec γ plus petit que β. Et ce résultat là (Maclachlan et Martin) : Résultat 15 Soient f et g elliptiques, primitifs, d ordres n et m (avec n m et n 2). Soit d(m, n) = 4(cos 2 (π/m) + 1)(cos 2 (π/n) + 1) + 16 cos(π/m) cos(π/n). Si γ est en dehors de l ellipse z + 4 sin 2 (π/n) sin 2 (π/m) + z = d(n, m), alors f, g est discret et isomorphe au produit libre f g . 2.3 Domaines fondamentaux. Théorème de Poincaré Définition 16 Soit G un sous-groupe discret de P SL(2, R). Un polygone D est un polygone fondamental de G si les conditions suivantes sont satisfaites : 1. Pour tout élément γ non trivial de G, γ D D =. 2. Pour tout z de H, il existe γ G tel que γ z D. 3. Les côtés de D sont appariés par des éléments de G : pour tout côté s de D, il existe un côté s de D et un élément γ s de G tel que γ s s = s. De plus, γ s = γs 1 et (s ) = s. L élément γ s est appelé appariant (side-pairing). 4. Tout compact de H rencontre seulement un nombre fini de translatés de D par le groupe G. 5 C est un cas particulier de la notion de domaine fondamental Pour être complets, on va décrire comment on construit les cycles (de sommets, de côtés appariés et d applications appariantes qui vont avec).on commence par un sommet e 1 qui est l intersection de s 1 et d une autre face. Une application appariante γ 1 envoie s 1 sur s 1. On note e 2 = γ 1 e 1, c est un sommet intersection de deux faces, s 1 et une autre face qu on appelle s 2. On recommence avec e 2 et s 2 et on continue. On retombe sur e 1 car le polygone a un nombre fini de sommets. La suite de sommets (e n ) est périodique, ainsi que les suites (γ n ) et ((s n, s n)) d aplications appariantes et de faces appariées. On note k la plus petite période commune à toutes ces suites. On appelle {e 1,..., e k } le cycle de sommets, on pose h = γ k γ k 1 γ 1, c est la transformation du cycle ( cycle transformation ). On remarque que h(e 1 ) = e 1. Deux cycles sont équivalents s ils ont mêmes sommets, un sommet est exactement dans une classe de cycles, un sommet peut apparaître deux fois dans un cycle mais pas plus. Le théorème de Poincaré, qui suit, donne des conditions suffisantes pour qu un polygone D donné, accompagné d un ensemble de transformations T, soit un polygone fondamental pour le groupe G engendré par ces transformations. Conditions Pour tout côté s de D, il existe un côté s de D et un élément γ s de T tel que (1) γ s s = s. (2) γ s = γs 1. (relation de réflexion) Les γ s sont les transformations appariantes. Elles forment l ensemble T. (3) γ s D D =. On a une relation d équivalence sur D : z est équivalent à z s il existe γ T tel que γ z = z. (4) Chaque classe d équivalence sur D a un cardinal fini. Conditions sur les cycles et les angles : (5) Pour tout sommet e, la transformation (du cycle auquel appartient e) h est d ordre fini, t( N ). (relation de cycle). Soit α(e) l angle, mesuré à l intérieur de D, au sommet e. Si e appartient au cycle {e 1, e 2,..., e k } on impose k (6) α(e m ) = 2π t. m=1 (7) Condition demandant qu un domaine D sur lequel on définit une distance soit complet, mais si D est relativement compact dans H cette condition est satisfaite. Résultat 17 Théorème de Poincaré Soit D un polygone, accompagné d un ensemble de transformations T, le tout vérifiant les conditions (1) jusqu à (7). Alors G, le groupe engendré par T, est discret, D est un polygone fondamental de G et les relations de réflexion et les relations de cycles forment un ensemble complet de relations pour G. g : D autres exemples de [ domaines fondamentaux : a b Pour un élément g = de (P )SL(2, R), soit D g l extérieur du cercle isométrique de D g = {z C : cz + d 2 1}. Définition 18 Soit G un sous-groupe kleinien de (P )SL(2, R), tel que 0 Ω. Le domaine 6 de Ford de G est l ensemble suivant : C est un domaine fondamental pour G. g G,g id Définition 19 Soit G un sous-groupe kleinien de (P )SL(2, R). Soit O un point de H, qui n est fixé par aucun élément non trivial de G. Pour tout élément non trivial g de G, soit g l ensemble des points de H plus proches de O que de g O : D g. g = {z H : d(z, O) d(z, g O). Le domaine de Dirichlet de G centré sur O est D = C est un polygone fondamental pour G. g G,g id g. 3 Le groupe modulaire SL(2, Z). 3.1 Définition, sous-groupes de congruences Le groupe modulaire SL(2, Z) est l ensemble des matrices réelles à coefficients entiers (relatifs) de déterminant 1. Il est engendré par les homographies suivantes : T : z z + 1 et S : z 1 z. On constate que S est d ordre 2 et ST, d ordre 3 et l on peut montrer que SL(2, Z) est le produit libre des groupes S et ST . (Koecher-Krieg, p 108) (Serre p 131) Son domaine fondamental : On appelle ρ le point e iπ/3. F = {z H : z 1, 1 2 Re(z) 1 2 }. Domaine fondamental F i Point rho 7 Soit Λ un sous groupe de SL(2, Z), soit Λ = Λ, I . On peut écrire SL(2, Z) = Λ M ν, 1 ν [SL(2,Z):Λ la somme est finie ou dénombrable, les M ν sont un système de représentants des classes à droite de SL(2, Z). On pose F(Λ) = M ν F. 1 ν [SL(2,Z):Λ C est un domaine fondamental pour Λ. Les pointes du domaine sont les M ν. (Spitzen). Soit n un entier 2. On note Γ(n) = {M SL(2, Z) : M I( mod n)}. L égalité s entend coefficient par[ coefficient. Pour tout entier [ a, on note a la classe de a dans a b a b Z/nZ. Pour toute matrice M =, on note M =. On a le résultat : Résultat 20 L application SL(2, Z) SL(2, Z/nZ) M M est un morphisme surjectif de groupes. Son noyau est Γ(n). Donc Γ(n) est distingué dans SL(2, Z), d indice fini dans SL(2, Z) parce que le quotient est isomorphe à SL(2, Z/nZ) (qui a pour cardinal n 3 d n (1 d 2 )). On l appelle principal groupe de congruence modulo n, n étant le degré de Γ(n). Pas de point fixe (si M z = z et M Γ(n), M est l identité). Exemple : Γ(2) Matrices à coefficients dans Z/2Z, de déterminant = 1. On élimine celles avec 4 zéros et 4 un, de même que celles avec 3 zéros (4) et celles avec 2 sur la même ligne ou la même colonne (4) ce qui fait 10 sur les 2 4 = 16. Il en reste six, qui sont les images des matrices suivantes (à coefficients dans Z) (déterminant = 1) : Id = S = [ [ T = U(= T S) = [ [ UT = U 2 = Ca nous fait un domaine fondamental constitué de six copies de F. [ [ i D autre part, SL(2, Z)/Γ(2) est isomorphe au groupe des permutations Σ 3. En effet, les matrices Id, T, UT, S, U, U 2 permutent les vecteurs suivants de (Z/2Z) 2 : [ [ [ 1 0 1,, Un sous-groupe Λ de SL(2, Z) est appelé groupe de congruence s il existe n tel que Γ(n) Λ. Le plus petit n convenant est appelé degré de Λ. Un sous-groupe de congruence a un indice fini dans SL(2, Z). Un exemple important : [ a b Γ 0 (n) = {M =, c 0 mod n}. Par exemple pour n = 2, un système de représentants (des classes à droite) est [ [ [ Id =, S =, U 2 = Ca donne un domaine fondamental en trois morceaux. Il y a aussi Γ 0 (n), où c est b qui est pair. Comme (SL(2, Z)/Γ(2)) Σ 3, comme Σ 3 a trois sous-groupes d ordre 2 (et d indice 3), il existe trois sous-groupes de congruence Λ ( tels que Γ(2) Λ SL(2, Z) avec inclusions strictes). Ce sont Γ 0 (2), Γ 0 (2) et un troisième qui s appelle Γ θ (2) et qui est Γ θ (2) = Γ(2) Γ(2) [ c est-à dire [ 0 1 Γ θ (2) = {M SL(2, R) : M I ( mod n) ou M ( mod n)} [ 1 0 a b = {M = SL(2, R) : a + b + c + d = 0 mod 2}. Enfin Σ 3 a un sous-groupe d ordre 3 (et d indice 2). Le sous-groupe de congruence lui correspondant est Γ N (2) = Γ(2) Γ(2)U Γ(2)U 2., 9 3.2 Périodes des fonctions elliptiques Une fonction f méromorphe sur C est dite elliptique s il existe des complexes ω 1 et ω 2, indépendants sur R, tels que z C, (m, n) Z 2, f(z + mω 1 + nω 2 ) = f(z). Une fonction elliptique peut admettre plusieurs couples de périodes. L ensemble {mω 1 +nω 2, (m, n) Z 2 } est un réseau de C. Le couple (ω 1, ω 2 ) en est une base (base d un réseau = base de C sur R, telle que tout élément du réseau soit combinaison linéaire à coefficients entiers des éléments de la base). Les deux assertions suivantes sont équivalentes : 1. Le couple (ω 1, ω 2 ) est une base du réseau [ a b 2. Il existe SL(2, Z) tel que [ ω1 ω 2 [ [ a b ω = 1 Puisque F est le domaine fondamental de SL(2, R), on peut choisir τ = ω 1 ω 2 dans F et même plus précisément dans { F g = F 1 } iy, y {z H : z = 1, 1/2 Re(z) 0}. 2 ω 2. Domaine fondamental, en trait plein la demi frontière gauche. F i C est F augmenté de sa frontière gauche. À chaque point de ce domaine fondamental (augmenté de sa demi frontière), on peut associer un ensemble de fonctions elliptiques. C est pour ça entre autres que c est important mais pas seulement. On verra dans la th des formes modulaires classiques. 10 4 Formes modulaires holomorphes 4.1 Réseaux et inégalités dedans. Lemmes techniques. Soit Ω un réseau dont une base est (ω 1, ω 2 ). On appelle volume de Ω la surface d une maille du réseau : (ω 1, ω 2 ) = {z = aω 1 + bω 2 : (a, b) [0, 1[ 2 } vol(ω) = Im(ω 1 ω 2 ). Cela ne dépend pas de la base choisie. On note δ = sup( z w, (z, w) (ω 1, ω 2 ) 2 ) le diamètre de la maille. Le nombre de points du réseau dans le disque de rayon ρ est On a le résultat technique Résultat 21 Pour tout ρ δ, Dire que A ρ (Ω) = Card ({w Ω : w ρ}). π vol(ω) (ρ δ)2 A ρ (Ω) D(0, ρ δ) Ce lemme de convergence en découle : w Ω, w ρ π (ρ + δ)2 vol(ω) (ω 1, ω 2 ) D(0, ρ + δ). Résultat 22 La série w Ω,w 0 w α converge si et seulement si α 2. (Koecher-Krieg). Résultat 23 Pour tous entiers m, n et pour tout z = x + iy H, on a (avec ch(d(z, i)) = x2 +y y.) mz + n 2 Im(z)e d H(i,z) (m 2 + n 2 ). Dire que et diagonaliser la matrice. [ x mz + n 2 = (m, n) 2 + y 2 x x 1 [ m n 4.2 Définition et propriétés des formes modulaires Pour tout z H, on pose q = e 2iπz. Pour une fonction méromorphe périodique f de période 1, définie sur H ou sur H R = {z C : Im(z) R( 0)}, on définit f, méromorphe sur le disque pointé D (0, e 2πR ). S il existe N N tel que q N f (q) est bornée sur D (0, e 2πR ), alors f est méromorphe sur tout le disque et admet le développement de Laurent f (q) = k= N 11 c k q k, valable dans un voisinage de q = 0. On appelle les c k les coefficients de Fourier à l infini de f, N estl ordre à l infini de f et on le note ν (f). Si c est 0, la fonction est dite holomorphe à l infini. On rappelle que [ a b z = az + b cz + d. Définition 24 Soit k un entier naturel pair. On appelle forme faiblement modulaire holomorphe de poids k une fonction f holomorphe sur H vérifiant [ a b γ = SL(2, Z), f(γ z) = (cz + d) k f(z). Une forme faiblement modulaire holomorphe est dite modulaire holomorphe (pas faiblement) si, de plus, elle est holomorphe à l infini. Il existe des définitions plus générales de modulaire faiblement holomorphe de poids k, avec un sous-groupe discret Γ de SL(2, R) au lieu de SL(2, Z). Avec k impair, comme le même automorphisme de H est représenté par une matrice de SL(2, Z) aussi bien que par son opposé, le facteur (cz + d) k dépend du représentant choisi et f est nulle. Notons ainsi les ensembles suivants, pour k entier Les formes faiblement modulaires (relativement à SL(2, Z)) holomorphes, de poids 2k. Parmi elles, celles qui sont méromorphes d ordre N : f(z) = k= N c kq k. M 2k : les formes modulaires holomorphes de poids 2k. Développement à l infini : f(z) = k=0 c kq k. S 2k :les formes modulaires holomorphes nulles à l infini, de poids 2k : f(z) = k=1 c kq k. (le coefficient c 0 est nul). Une telle forme est appelée parabolique ou cusp form ou Spitzenform. On peut aussi s intéresser à celles qui sont méromorphes sur H (et non holomorphes sur H). Une généralisation de la formule suivante est aussi valable pour elles. Résultat 25 Formule de poids. Soit f une forme modulaire de poids 2k, non nulle. On désigne par v p (f) la multiplicité de p comme zéro de f (si f(p) 0, v p (f) = 0). Le point ρ est e iπ/3. Alors on a v (f) v i(f) v ρ(f) + Démonstration : dans le Serre. On intègre ceci 1 f (z) 2iπ f(z) dz, sur le contour C C p F g, p i, p ρ v p (f) = k 6. 12 Ici on a supposé que f ne s annule pas sur la frontière. sinon on déforme ce contour en faisant un cercle autour de chaque zéro sur la frontière (sur la partie gauche) et en reportant ces modifications sur la partie droite de la frontière, par les transformations T : z z + 1 et S : z 1/z. Certains morceaux sont appariés par S et T, quand c est par la translation les intégrales se compensent, quand c est par S, il apparaît un term
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