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4 ECHANTILLONNAGE ET NUMERISATION D UN SIGNAL

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4 ECHANILLONNAGE E NUMERISAION D UN SIGNAL I) Signaux analogiques et numériques Les grandeurs physiques, associées aux phénomènes physiques observées, varient de façon continue. Les signaux sont analogiques.
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4 ECHANILLONNAGE E NUMERISAION D UN SIGNAL I) Signaux analogiques et numériques Les grandeurs physiques, associées aux phénomènes physiques observées, varient de façon continue. Les signaux sont analogiques. Ils peuvent être enregistrés sous forme analogique puis traités de façon analogique par des filtres. Ils peuvent être également convertis en signaux numériques, puis traités numériquement avant d être stockés (CD) ou convertis à nouveau en signaux analogiques pour être envoyés dans un transducteur (haut-parleur). La numérisation (digitalisation) consiste à coder le signal en un nombre limité de valeurs bien définies. Le signal devient discret et codé sous forme de bits (prenant la valeur ou 1). Un bruit additif faible ne viendra plus perturber le signal. On peut aussi faire apparaitre une certaine redondance dans le signal avec des bits de contrôle pour détecter et corriger d éventuelles erreurs : le numérique permet de réaliser des copies parfaites. Le signal numérique est filtré ou analysé à l aide de calculs réalisés par un ordinateur sans utiliser de composants électroniques nécessaires à un filtre analogique. On peut donc faire varier les propriétés des filtres à volonté en modifiant les paramètres du logiciel (qui, à la différence des composants ne peuvent pas dériver dans le temps). Enfin, le traitement essentiel est la possibilité de compression des signaux numériques. On peut aussi garder des signaux variés (texte, audio, vidéo, feuille de calcul) sur le même support. 1 II) Principe du traitement du signal numérique Filtre passe-bas anti-repliement Echantillonneur transducteur f c f e /2 e =1/f e raitement numérique (analyse, filtrage,compression, ) puis stockage numérique (CD audio, ) ou transmission numérique (N, ) CAN CNA Filtrage éventuel et amplification HP transducteur III) Echantillonnage 1) Opération d échantillonnage L échantillonnage consiste à prendre périodiquement la mesure du signal à t=n e. e = période d échantillonnage 1 fe =fréquence d échantillonnage e Cette opération est réalisée par un interrupteur commandé par un échantillonneur. 2 Echantillonneur Mathématiquement, cette opération revient à multiplier le signal analogique par un «peigne de Dirac» p(t) formé d impulsions périodiques de période e. s(t) p(t) 1 X t t s k = e 2) Fréquence d échantillonnage et spectre a) Périodicité du spectre du signal échantillonné La technique d échantillonnage utilisée est analogue au principe de la stroboscopie lors de l observation de mouvement en mécanique des cordes de Melde. t Si f = fréquence du système mécanique Le système parait immobile si f Nf (N oscillations pendant e ). Le système parait effectuer le même mouvement si f ' f N fe 3 e Le spectre du signal échantillonné est donné à Nf e près. b) Spectres translaté et miroir. Cas d un signal monochromatique On suppose le signal analysé sinusoïdal de fréquence f. Le signal peigne est constitué d harmoniques de fréquences multiples de f e. Lorsque les deux signaux sont multipliés ensemble, on observe (en raison de l harmonique de rang n du peigne) une composante du type : 1 cos 2 ft cos 2 nfet cos2 nfe f t cos 2 nfe f t 2 C C f e +f 2f e +f 3f e +f 4f e +f O f Spectre du signal analysé O f e -f 3f e -f 4f e -f 2f e -f Spectre du signal échantillonné Remarques : - ici, la fréquence du signal échantillonnée varie de 0 à l infini. On aurait pu considérer variant de à comme dans les transformées de Fourier. Cela ne change pas la physique du problème car F(-) est le conjugué de F(soit C = C( - Cette propriété liée à la multiplication des signaux sinusoïdaux est utilisée pour transporter des signaux. Exemple : modulation d amplitude = pulsation du signal (f) = pulsation de la porteuse (F) a cos(2ft) A cos(2ft) X kaa cos(2ft)cos(2ft) Multiplieur 4 C C f F+f O f Spectre du signal O F-f Spectre du signal modulé La bande passante utilisée par le signal modulé est f=2f. Plus la fréquence de la porteuse utilisée est grande, plus le nombre de F canaux utilisés pourra être important : N ou plus le spectre du signal f pourra être large. Pour restituer le signal, il faut multiplier le signal modulé par A cos(2ft). Le spectre obtenu est alors : v C 2F+f O f 2F-f Spectre du nouveau signal 5 Il suffit d utiliser un filtre passe-bas pour éliminer les hautes fréquences (2F-f) et (2F+f) et retrouver le signal de fréquence f. Cas d un signal polychromatique C Le signal a une composante continue f max Spectre du signal C 0 f e - f max f e f e + f max 2f e -f max 2f e Spectre du signal échantillonné Dans le spectre du signal échantillonné, les raies centrales ont leurs amplitudes divisées par deux par rapport à la raie centrale à cause du terme ½ dans le produit de cosinus. Zoomons sur le motif centré sur nf e. 6 nf e -f max Spectre miroir nf e nf e +f max Spectre translaté Le signal initial a un spectre dans l intervalle [0, f max ] (ou [-f max, f max ] ) En raison de sa périodicité de f e, on peut ramener le spectre échantillonné à l intervalle [nf e + f max, nf e - f max ]. 3) Fréquence d échantillonnage minimale - Condition de Shannon Pour éviter le chevauchement du spectre du signal échantillonné et de ses différentes réplications (centrées sur n f e ), il faut imposer f max f e 2 f e 2 f max n f e n f e +f max (n+1) f e (n+1) f e -f max Dans le cas contraire, on parle de repliement du spectre (Aliasing). 0 f e /2 f e 7 Le spectre a pour périodicité f e et est symétrique par rapport aux verticales = nf e. On peut donc ramener son étude à l intervalle [0, f e /2]. out se passe comme si, dans cette partie étudiée, le spectre se replie sur luimême à partir de f e /2. Pour respecter le critère de Shannon, il faut donc utiliser un filtre passe-bas de fe fréquence de coupure fc avant d échantillonner le signal. 2 Exemple de repliement : Analyse d un disque en rotation à la fréquence f étudié par stroboscope de fréquence f e. On suppose f 3 f (Le disque fait 3 4 e 4 de tour entre deux flashes) t=0 t= e t=2 e t=3 t=4 e e Le mouvement apparent correspond à f ' fe spectre pour une fréquence supérieure à 2 f e 4 :. On retrouve le repliement du 3 fe fe f ' fe Remarque : Echantillonneur bloqueur Dans l échantillonneur- bloqueur le signal de sortie reste bloqué sur la valeur s k pour t appartenant à l intervalle [t k, t k + e ] ce qui laisse le temps au convertisseur analogique numérique de traduire la valeur s k en un code binaire. 8 Symbole de l échantillonneurbloqueur IV) Numérisation et traitement du signal 1) Quantification L échantillonnage consiste à prélever à prélever la valeur prise par la grandeur physique à des instants régulièrement répartis. La quantification convertit chaque valeur recueillie lors de l échantillonnage en un nombre entier. Exemple : Loi de quantification linéaire Pour des signaux sonores, la loi de quantification sera non linéaire (logarithmique). s min, Sortie numérique q p=2 bits 00 s min =0 s max Entrée analogique L entrée analogique évolue dans une plage [s min, s max ]. s =s max - s min s appelle la pleine échelle. Si on numérise en binaire avec p bits, il y a 2 p états possibles en sortie. 9 Lors d une quantification uniforme, la pleine échelle est divisée en autant de plages de même dimension. Chaque plage est associée à un code binaire. s Le quantum est la dimension des plages et vaut q. (Il est également 2 p nommé Least Significant Bit). L erreur de quantification (ou de codage) varie pour chaque plage de à q. Remarque : pour réduire l erreur de codage, on utilise une erreur de quantification linéaire centré : Sortie numérique /2 q 01 1/2 q q 00 p=2 bits s min =0 s max Entrée analogique L erreur de quantification (ou de codage) varie pour chaque plage de q 2, ce qui diminue l écart type de l erreur de quantification. q 2 à 2) Convertisseurs Le signal échantillonné est transformé en signaux binaires (signal digitalisé, numérisé) par un convertisseur analogique numérique (C.A.N.). Exemple : CAN à rampe (ou comptage d impulsions). On intègre la tension analogique jusqu à une tension de référence. Un compteur binaire mesure la durée nécessaire. On peut ensuitee traiter le signal numérique dans un calculateur (filtrage, compression, ) pour le le reconvertir en signal analogique par un convertisseur numérique analogique (C.N.A.) avant de l amplifier. Remarques :Lors de la restitution du signal analogique, s =s max - s min vaut (2 p -1)q (dynamique). 10 3) Filtrage numérique Exemple : filtre passe-bas du premier ordre H s 1 régime harmonique e 1 j ou ds s e régime transitoire dt Avec l échantillonnage ( e ) ds dt s n s e n1 d où s s s e s 1 e s n n1 n n n n n1 e e e V) Expérience Cette méthode est donnée dans la plupart des livres, mais il est plus astucieux ds sn 1 sn d écrire : soit sn 1 sn en sn dt (la valeur s n+1 se calcule e uniquement en fonction des valeurs prises par s et e à l instant t n-1 ). La simulation de ce filtre ne présente aucune difficulté en algorithmique. Remarque : On parle de - Réponse libre si e(t)=e pour t 0 et e(t)=0 pour t 0 - Réponse indicielle si e(t)=0 pour t 0 et e(t)=e pour t 0 - Réponse harmonique si e(t) =a cos (t) On veut faire l analyse de Fourier, avec Regressi ou un oscilloscope, d un signal périodique de fréquence f 0 et de période 0. Il faut choisir une fenêtre de durée sur laquelle l analyse va porter. e 11 s(t) t La transformée de Fourier rapide (F.F.. Fast Fourier ransform ou.f.d. ransformée de Fourier Discrète) utilise nécessairement 2 N points dans la fenêtre pour, minimiser le temps de calcul. (N 10 et 2 N 1024) Ces 2 N points ne correspondent pas nécessairement aux points d échantillonnage. Il faut alors, soit approximer les valeurs des 2 N points aux valeurs de l échantillonnage les plus proches, soit utiliser une interpolation, d où une première source d erreurs à l origine de l apparition de fréquences inexistantes dans le spectre calculé. De plus, lorsqu on choisit la fenêtre, l algorithme considère qu il s agit exactement d une période. Il faut donc que soit un multiple de la période du signal analysé. Mais en réalité, on introduit toujours une discontinuité qui fera apparaitre des hautes fréquences fictives. 12 s(t) t La question se porte alors sur le choix du nombre de périodes 0 que doit comporter la fenêtre. N 2 N 1 La fréquence d échantillonnage vaut fe 2 f avec f D après le critère de Shannon, la fréquence maximale que l on peut mettre en évidence est f f e N 1 max 2 f 2 Les seules fréquences qui apparaissent dans le spectre sont f, 2f, 3f,,2 N-1 f. La résolution spectrale est donc f. Augmenter la durée d observation diminue la fréquence maximale observable dans le spectre mais permet une observation plus fine du spectre. Il y a donc un compromis à faire. En pratique, on choisit plusieurs périodes de signal observé dans la fenêtre de façon à minimiser des raies aberrantes (artefact) et à augmenter la résolution, notamment dans le cas de signaux quasi périodiques (battement, signaux modulés, signaux pseudopériodiques). 13
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