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Classe: 2 4 DS9 lundi 11 mai 2015 NOM : Prénom : Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d Alexandrie

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Exercice 1 Logique et raisonnement 1) Vrai Faux Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses. 5 points Si la proposition est fausse, donner un contre-exemple qui prouve qu'elle est fausse (un
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Exercice 1 Logique et raisonnement 1) Vrai Faux Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses. 5 points Si la proposition est fausse, donner un contre-exemple qui prouve qu'elle est fausse (un schéma peut suffire). Si la proposition est vraie, rappeler la propriété du cours qui prouve que la proposition est vraie. Propositions : 1) Si f est une fonction croissante sur R alors f ( 2) f (π) VRAI Justification : Comme f est une fonction croissante sur R, l'ordre des images est celui des antécédents. Puisque 2 π alors f ( 2) f (π) Vrai ou Faux 2) Si f (3) f (5) alors f est une fonction croissante sur R. FAUX Justification : Voici la représentation graphique d'une fonction telle que f (3) f (5) et qui n'est pas croissante sur R, 2) Implication, réciproque, contraposée : a) Voici une implication, dire si elle est vraie ou fausse : Si x 2 alors x² 4 Vraie (Preuve : la fonction carré est strictement croissante sur [ ; + [. b) Écrire la réciproque de cette implication, et, dire si elle est vraie ou fausse : Si x² 4 alors x 2 FAUX En prenant x = 3, on a : ( 3)² 4 mais ( 3) 2. c) Écrire la contraposée de l'implication du a), et, dire si elle est vraie ou fausse : Si x² 4 alors x 2 Vraie Rappels et compléments : Une implication est une phrase qui peut s'écrire de la forme : Si (condition suffisante) alors (condition nécessaire). Sa réciproque est la phrase construite en échangeant les deux conditions. 1/7 DS9_corrige.odt 18/5/15 Pour prouver qu'une implication est vraie, on se donne la condition suffisante et on montre (par une argumentation logique et non en réaffirmant sans preuve) la condition nécessaire. Un exemple illustre l'implication mais ne la prouve pas. (Voir 1-1 et 2a)) Pour prouver qu'une implication est fausse, on peut construire un contre-exemple. On trouve un exemple où la condition suffisante est vérifiée sans avoir la condition nécessaire. (Voir 1-2) et 2b) La contraposée d'une implication est la phrase construite en prenant la négation de la condition nécessaire en hypothèse et la négation de la condition suffisante en conclusion. (Voir 2c). Ceux qui ont écrit : Si x 2 alors x² 4 ont écrit la contraposée du 2b/ et non du 2a/. Exercice 2 : variations de fonctions Voici le tableau de variations d'une fonction f. x f (x) 5 D'après ce tableau, existe-t-il des solutions à l'équation f (x) = 2. Oui 2 points Si oui, combien existe-t-il de solutions et dans quels intervalles sont-elles situées? L'équation possède 3 solutions : l'une sur ] ; 3[, une deuxième sur ] 3 ; 1[ et une troisième sur [1 ; 5[. Commentaires : Analyse du vocabulaire : Une solution est un réel tel que son image par f est 2. Ce réel est lu sur la ligne des antécédents (en abscisses sur un graphique). «Combien» est un adverbe interrogatif qui attend une réponse précise. Méthode : Puisque 2 est une image, on place «2» sur la ligne des images f (x) (en ordonnées sur un graphique). On lit alors les antécédents possibles dans les intervalles (un à un). x α 1 3 α 2 1 α f (x) /7 DS9_corrige.odt 18/5/15 Voici une représentation graphique C f possible de f. Les solutions sont les abscisses des points de C f d'ordonnée 2. Exercice 3 histogramme 2 points Voici une série statistique représentant la répartition en % par tranches d'âges dans un groupe de personnes : âge [5 ; 1[ [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; 5] fréquence en % Entourer le bon histogramme en justifiant votre choix. C'est le deuxième car les aires sont proportionnelles aux fréquences, alors que dans le premier diagramme, pour des classes de largeur différente, on a construit des rectangles de même hauteur. 3/7 DS9_corrige.odt 18/5/15 Remarque : Pour éviter un «baratin» descriptif et imprécis, il suffit d'employer le vocabulaire adéquat et précis Ici, la notion de proportionnalité est essentielle. Exercice 4 Distribution de fréquences 3 points En annexe est donné le diagramme des fréquences cumulées croissantes d'une série statistique représentant la taille des filles de moins de 1 ans dans une région du Canada. 1) Donner par lecture graphique les valeurs de la médiane, du premier quartile et du troisième quartile. (Les traits de construction permettant de déterminer ces nombres doivent être apparents). La médiane est l'abscisse du point du diagramme d'ordonnée 5%. On lit : Me 164 cm Le premier quartile est l'abscisse du point du diagramme d'ordonnée 25%. On lit : Q1 161 cm Le troisième quartile est l'abscisse du point du diagramme d'ordonnée 75%. On lit : Q3 168 cm 2) Compléter le tableau suivant donnant les fréquences : Taille [15 ; 16[ [16 ; 165[ [165 ; 17[ [17 ; 18] fréquences,2,35,25,2 Commentaires : On ne demande pas les fréquences cumulées.. 4/7 DS9_corrige.odt 18/5/15 Une fréquence est comprise entre et 1, si vous la donner en pourcentage, cela doit être dit et écrit. Exercice 5 : moyenne 2 points Dans un groupe de 5 personnes dont 4 hommes, la moyenne des âges des hommes est 25 ans et celle des femmes est 3 ans. Quelle est la moyenne d'âge du groupe? La somme des âges des hommes est 25 4 = 1 La somme des âges des femmes est 3 1 = 3 La somme des âges des 5 personnes du groupe est = 1 3 La moyenne d'âge du groupe est : 13 = 26 ans. 5 Remarque : On peut faire en une seule opération : = 26 ans Exercice 6 probabilités 3 points 1) Les tableaux suivants permettent-ils de définir une loi de probabilité? issues probabilités,5,2,1,2 Chaque probabilité est comprise entre et 1 et la somme de toutes les probabilités est,5 +,2 +,1 +,2 = 1 Ce tableau définit donc une loi de probabilité. issues probabilités,5,2,1,2 Comme,2 , ce ne peut pas être une probabilité, (ou encore : la somme ne fait pas 1) Remarque : Il n'y a aucune condition sur les issues. L'expérience aléatoire n'étant pas indiqué, on peut tout avoir comme résultats possibles. Par exemple, dans un sac, il y a 5 jetons marqués 1, 2 jetons marqués 2, 1 jetons marqués 4 et 2 jetons marqués 8. On tire au hasard un jeton et on note son numéro. La loi de probabilité de cette expérience aléatoire est le premier tableau. 2) Lors d'une expérience aléatoire, on a obtenu les résultats suivants où A et B sont deux événements de l'univers E : P(A) =,8, P(B) =,6 et P(A B) =,9 Calculer P(A B) et P(A) On sait : P(A B) = P(A) + P(B) + P(A B), d'où, P(A B) =,8 +,6,9 =,5 5/7 DS9_corrige.odt 18/5/15 et P(A) = 1 P(A) = 1,8 =,2. Illustration : Dans un groupe de 1 personnes, certains font de la course, d'autres (ou le mêmes) font du cyclotourisme. 9 personnes font de la course ou du cyclo. 8 personnes font de la course (dont 5 font du cyclo) (3 font seulement de la course) 6 personnes font du cyclo (dont 5 font de la course) (1 font seulement du cyclo). 5 personnes font de la course et du cyclo. 1 ne font ni cyclo, ni vélo. 2 ne font pas de la course (dont 1 font du cyclo). 4 ne font pas du cyclo (dont 3 font de la course). font du cyclo ne font pas de cyclo font de la course,5,3,8 ne font pas de la course,1,1,2,6,4 1 Exercice 7 équations, inéquations 1) Résoudre l'équation suivante : (voir remarques dans le DM9) x+2 x 7 = 2 5 { équivaut à x 7, d'où, 3x = 24. 5(x+2)=2( x 7) S = { 8} 3 points 2) a) Justifier que l'inéquation 2 x+3 x+4 2 est équivalente à l'inéquation 5 x+4. 2 x+3 x+4 2 équivaut à 2 x+3 2 (On retranche 2 aux deux membres de l'inégalité) x+4 2 x+3 (2 x+ 3) 2( x+ 4) 2 équivaut à (On met au même dénominateur) x+4 x+ 4 Après réduction du numérateur, on obtient : b) Résoudre cette inéquation. Comme 5 , S = ] 4 ; + [ 5 x+4 2 x+3 x+4 2 est équivaut à 5 x+4 si et seulement si x 4 et x + 4. x x x+4 + 6/7 DS9_corrige.odt 18/5/15 Annexe : diagramme des fréquences cumulées croissantes de l'exercice À noter sur votre agenda : DM1 à rendre le lundi 18 mai 215 : 34 page 145 ; 39 page 32 ; 43 page 124 : ajouter les questions suivantes 1) on donne x =,5. Que doit afficher cet algorithme? 2) on donne x = 1. Que doit afficher cet algorithme? 3) le résultat affiché pour y est :,75. Quelle est la valeur de x? 4) l'algorithme peut-il afficher pour y la valeur 1. Justifier votre réponse. pour ceux qui demandent une série scientifique : 81 page /7 DS9_corrige.odt 18/5/15
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