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CONCEITOS ELEMENTARES EM CÁLCULO FRACIONÁRIO PARA FISIOLOGIA E ALÈM Elementary concepts in fractional calculus for physiology and beyond

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Resumo: Este texto discute conceitos elementares em cálculo fracionário e as dinâmicas de alguns sistemas, como os fisiológicos, que podem ser representadas por equações diferenciais de ordem fracionária. Abstract: This paper discusses elementary
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  CONCEITOS ELEMENTARES EM CÁLCULO FRACIONÁRIO PARA FISIOLOGIA E ALÈM Elementary concepts in fractional calculus for physiology and beyond Paulo Roberto Ferrari Mosca# #- Médico, pediatra, doutor, professor do Departamento de Pediatria e Puericultura, Faculdade de Medicina, UFRGS; HCPA Resumo: Este texto discute conceitos elementares em cálculo fracionário e as dinâmicas de alguns sistemas, como os fisiológicos, que podem ser representadas por equações diferenciais de ordem fracionária. Abstract: This paper discusses elementary concepts in fractional calculus and the dynamics of some systems, such as the physiological ones, which can be represented by fractional order differential equations. INTRODUÇÃO Uma pesquisa em 30/04/2017 sobre o site PubMed revela que a expressão “fractional calculus” gera 134 artigos; [ “fractional calculus” AND Medicine ] aponta 6 artigos; já [ “fractional calculus” AND physiology ] mostra 22 artigos; a combinação [ “fractional calculus” AND biology ] lista 9 artigos. A expressão [ “fractional calculus” AND “life sciences” ] não retorna nenhum artigo. Pode ser dito daí que o cálculo de ordem fracionária está inexplorado em Medicina e nas ciências aliadas; isto parece se dever à sua inerente complexidade e a aparente suficiência de outros métodos de formalização. No entanto, o cálculo fracionário possui o potencial de representar mais acuradamente alguns comportamentos naturais relacionados a diferentes áreas da ciência, sendo usado como um instrumento promissor em bioengenharia (o PubMed retorna 11 artigos), viscoelasticidade, eletrônica, robótica, teoria do controle, processamento de sinal, processamento de imagem, entre outras. Isto se deve porque o cálculo fracionário pode descrever o comportamento de sistemas dinâmicos reais em expressões compactas, levando em conta as características não locais (tipo memória infinita) 1,2 . Existe uma relação entre o cálculo fracionário e os fractais 3-6 . Esta ligação foi encontrada na srcem física das leis de potenciação que governam a evolução de vários fenômenos naturais, cujas memória longa e hereditariedade são modeladas matematicamente por operadores diferenciais de ordem não inteira. Assim, no caso de um fluído viscoso escoando através de um meio poroso moldado de modo fractal, uma vez que o processo ocorre numa geometria fractal subjacente, uma lei de potenciação naturalmente governa sua evolução, cuja ordem é relacionada à dimensão anômala de tal geometria, bem como ao modelo usado para descrever a física envolvida. Pela linearização da dependência não linear da resposta do sistema junto com uma ação forçada adequada, explorando ao princípio de superposição de Boltzmanm, foi encontrado que uma equação diferencial fracionária descreve a dinâmica do sistema. A ordem de tal equação é relacionada à dimensão anômala da geometria subjacente 7 . CONCEITOS ELEMENTARES INTRODUTÓRIOS O cálculo fracionário é uma generalização do cálculo clássico, o qual passa a envolver operações de integração e de diferenciação de ordem não inteira 8-15 . O termo  “fracionário” basicamente implica todos os números n ão inteiros (por exemplo, as frações, os números irracionais e mesmo os números complexos), daí uma nomenclatura matematicamente mais correta seria “cálculo de ordem não inteira”. A ideia do cálculo fracionário foi plantada uns 300 anos atrás, sendo que a primeira referência conhecida pode ser encontrada na correspondência entre Gottfried Wilhelm Leibniz e Marquis de l’Hôpital em 1695, onde a questão do significado da semi -derivada foi posta 16 . De um modo grosseiro, a integral e a derivada tradicional é, para dizer o mínimo, um “ grampo ”  essencial usado como um meio para compreender e trabalhar com sistemas naturais e artificiais; por seu turno, o cálculo fracionário é um campo de estudo matemático que cresce a partir das definições tradicionais dos operadores integrais e derivativos do cálculo, da mesma forma que os expoentes fracionários são um resultado de expoentes com valor inteiro. Considerando o significado físico do expoente, de acordo com o ensinamento matemático da escola primária, os expoentes fornecem uma notação curta para o que é essencialmente uma multiplicação repetida de um valor numérico. Este conceito em si é fácil de entender e é direto. No entanto, esta definição física pode claramente tornar-se confusa quando se considera expoentes de valor não inteiro: é difícil conceber que se possa multiplicar 3,4 vezes um número  x , ou pi vezes um número  x , e que estas expressões possuam um valor definido para qualquer  x , verificável por expansão de série infinita. A mesma dificuldade ocorre para a concepção de derivadas e de integrais com expoentes não inteiros. Embora sejam de fato conceitos de maior complexidade por natureza, ainda é relativamente fácil representar fisicamente seu significado. Uma vez dominada, a ideia de completar inúmeras dessas operações, as integrações ou as diferenciações seguem-se naturalmente. Dada a satisfação de algumas poucas restrições (por exemplo, a continuidade da função), completar n  integrações pode tornar-se tão metódico quanto a multiplicação. Mais uma vez, à primeira vista, o significado físico pode tornar-se complicado, mas pode ser mostrado que o cálculo fracionário flui naturalmente a partir das definições tradicionais. E assim como expoentes fracionários, como a raiz quadrada, podem encontrar seu caminho em inúmeras equações e aplicações, tornar-se-á evidente que integrações de ordem 1/2 e além podem encontrar uso prático em muitos problemas modernos. A maior parte da teoria matemática aplicável ao estudo do cálculo fracionário foi desenvolvida antes da virada do século XX. No entanto, foi nos últimos 100 anos que os saltos mais intrigantes na engenharia e na aplicação científica foram encontrados. A matemática em alguns casos teve de mudar para atender às exigências da realidade física. Caputo reformulou a definição mais "clássica" da derivada fracionária de Riemann-Liouville para usar condições iniciais de ordem inteira para resolver suas equações diferenciais de ordem fracionária 10 . Já em 1996, Kolowankar reformulou novamente, a derivada fracionária de Riemann-Liouville para diferenciar funções digitais diferentes e não-diferentes 17 ; a ideia aqui foi, partindo da concepção da dependência da derivada de ordem fracionária sobre um limite mais baixo  –   tornando-a um operador não local como a definição de Riemann-Liouville (se este limite for tomado ao infinito gera-se a definição de Weyl), introduzir o limite oposto, introduzindo um conceito de derivada fracionária local, que é útil para caracterizar comportamento escalar local e a máxima ordem de existência desta derivada foi relacionada ao expoente local de Hölder 18 . Como foi mostrado que o índice de Levy para voos de Levy unidimensionais é a ordem crítica de sua função característica, as derivadas fracionárias locais de sinais multifractais podem fornecer o expoente local de Hölder; com isto, as derivadas fracionárias locais fornecem uma poderosa ferramenta para analisar o comportamento pontual de sinais irregulares 19 .  De um modo geral, no século XX foram encontradas aplicações e manifestações físicas de cálculos fracionários. No entanto, estas aplicações e o contexto matemático que circunda o cálculo fracionário estão longe de ser paradoxais. Embora o significado físico seja difícil de entender, as próprias definições não são mais rigorosas do que as de suas contrapartes de ordem inteira. A compreensão das definições e do uso do cálculo fracionário pode se tornar mais clara através da discussão rápida de algumas definições matemáticas necessárias, mas relativamente simples, que surgem no estudo desses conceitos, como a função gamma, a função beta, a transformada de Laplace e a função Mittag-Leffler. A "beleza" da função gamma pode ser encontrada em suas propriedades. Em primeiro lugar, esta função é única pelo fato de que o valor para qualquer quantidade é, por consequência da forma da integral, equivalente àquela quantidade z menos uma vez a gamma da quantidade menos um:  Γ(z+1) = z Γ(z) . O uso da função gamma permite a definição da função Φ(t)  que é útil nas formas alternativas da integral fracionária 20 . Já a função beta, também conhecida como integral de primeiro tipo de Euler, está em importante relação com o cálculo fracionário. A função é  B(x,y) = ∫  −  (1-t)  y-1  dt  . Esta função é simétrica  B(x,y) = B(y,x) . Sua solução não é apenas definida através da utilização de múltiplas funções gamma,  B(x,y) =  Γ  (x)  Γ  (y) /  Γ  (x+y) . mas também compartilha uma forma que é caracteristicamente similar à integral / derivada fracionária de muitas funções, particularmente polinômios da forma t  α  e da função de Mittag-Leffler 21 . A transformada de Laplace é uma transformação de função comumente usada na solução de equações diferenciais complicadas; com ela é frequentemente possível evitar trabalhar com equações de diferentes direções diretamente, ao traduzir o problema em um domínio onde a solução se apresenta algebricamente 22 . Sua definição formal é  L{f(t)} = ∫  −∞  f(t) dt = f  - (s) . Diz-se que a transformada de Laplace da função  f (t)  existe se a equação acima é uma integral convergente. A exigência para isso é que  f (t) não cresça a uma taxa maior do que a taxa na qual o termo exponencial e -st   diminua. Também comumente usada é a convolução de Laplace:  f(t) *  g(t) = ∫    τ  )g( τ  ) d  τ   = g(t) *  f(t) . A função de Mittag-Leffler é uma função importante que encontra um uso generalizado no mundo do cálculo fracionário 23 . Assim como a exponencial surge naturalmente da solução para equações diferenciais de ordem inteira, a função de Mittag-Leffler desempenha um papel análogo na solução de equações diferenciais de ordem não-inteira. De fato, a função exponencial em si é uma forma muito específica, de um conjunto infinito, dessa função aparentemente onipresente. A definição padrão da função de Mittag-Leffler é dada por:  E  α   (z) = ∑  ∞=  /Γ(αk+1)  para α >  0 . A função de Mittag-Leffler pode ser representada com dois argumentos α  e    , tal que  E  α, (z) = ∑  ∞=  /Γ(αk+  )  para α >  0  e   > 0 . Seguindo a primeira inquisição de Leibniz e l’Hôpital , o cálculo fracionário atraiu o interesse de alguns matemáticos bem conhecidos, incluindo Euler, Liouville, Laplace, Riemann, Grünwald, Letnikov, entre outros. Em 1819, Lacroix forneceu a resposta correta ao problema colocado por Leiniz e l’Hôpital, apontando 24  que d  1/2  x/dx 1/2  = 2 √(x/π) . Abel, em 1823, investigou o problema do tautócrono generalizado e pela primeira vez aplicou técnicas do cálculo fracionário para um problema físico 25,26 . A solução de Abel atraiu a atenção de Joseph Liouville que realizou  o primeiro grande estudo sobre cálculo fracionário e gerenciou a aplicação destes resultados a problemas na teoria do potencial 27,28 . OPERADORES DE ORDEM FRACIONÁRIA A ideia intuitiva de cálculo fracionário pode ser observada numa carta escrita, 1695,  por Leibniz a l’Hôpital 29 . Ele é uma generalização do cálculo de ordem inteira para uma ordem real ou complexa 30 . Formalmente, a generalização para a ordem dos números reais é introduzida como: d  α  /dt  α  se α > 1    D α  = 1  se α = 0   ∫ dτ tα α  se α < 0  para α  pertencendo ao conjunto dos números reais. As derivadas fracionárias podem ser introduzidas através da sucessiva diferenciação de potências inteiras de  x , onde a expressão introduz o operador  D  de diferenciação:  D 0  x  ρ  = x  ρ ,  Dx  ρ  = p x  ρ -1 ,  D 2  x  ρ   = ρ(ρ -1)x  ρ -2 ,  D m  x  ρ   = ρ(ρ - 1)(ρ - β) ... (ρ -m+1) x  ρ -m . Multiplicando e dividindo a última equação por (ρ -m)!    D m  x  ρ  =  ρ(ρ - 1)(ρ - β) ... (ρ - m+1)(ρ -m)! x  ρ -m    / (ρ -m)!  D m  x  ρ  = [ρ! / (ρ -m)] x  ρ -m  onde m  é um número inteiro positivo. Para derivar uma expressão para diferenciação fracionária, onde m  é generalizado para valores fracionários, a função fatorial ( ! ) é substituída pela função gamma de Euler:  Γ(z) = ∫  −∞  u  z-1  du . Esta função gamma é uma extensão da função fatorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1; se n  é um inteiro positivo, então  Γ(n+1) = n! ; esta função é estendida por uma continuação analítica para todos os números complexos, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva, a definição segue por uma integral imprópria convergente referida acima 20 . Como pode ser provado que  Γ(z+1) = z!  para todo  z  pertencente aos números reais, então a equação  D m  x  ρ  = [ρ! / (ρ -m)] x  ρ -m  pode ser reescrita como  D m  x  ρ  =[  Γ(ρ+1) / Γ(ρ - α+1)]  x  ρ - α  , onde α  é um número real igual ou maior que zero. Esta última equação é uma das definições da derivada fracionária de Riemann-Liouville 8,9 . Uma metodologia mais elegante e geral 31  usa a transformada de Laplace e a definição da integral de Cauchy para obter expressões para a integral fracionária de Riemann-Liouville 0  −  f(t) = [1/   Γ  ( α )] ∫ [/  (t- τ) 1- α  ] dτ  , para 0 < α < 1 , e duas definições alternativas de derivada fracionária, a definição de Riemann-Liouville  f(t) =   0  −  Y(t) = d/dt [  −− Y(t)]  e a definição de Caputo  f(t) =   0    Y(t) = 0  −− [ Y(t)] + Y(0)t  - α  /Γ(1 - α) . Estas definições de derivada fracionária diferem na condição inicial considerada em cada caso. A ordem da derivada pode ser estendida para valores de α > 1 ; daí, para o  caso - 1 < α < m , onde m   é o menor inteiro positivo maior que α, as def  inições são como segue: 0    Y(t) =d  m  /dt  m   [(1/Γ(m - α)) ∫    /(t- τ) α+1 -m   dτ que é a definição da derivada fracionária de Riemann-Liouville e C 0    Y(t) = (1/Γ(m - α)) ∫      /(t- τ) ++1-m   dτ que é a definição de Caputo, a qual é geralmente expressa como C 0    f(t). As duas últimas equações são extensivamente usadas na maioria das aplicações teóricas e práticas do cálculo fracionário. Mas, numa condição, a derivada fracionária de Riemann-Liouville é aplicável e as condições iniciais com derivada fracionária são necessárias. Em tais problemas de valor inicial as soluções são praticamente inúteis, porque não há uma interpretação física clara desse tipo de condição inicial 10 . Pelo contrário, noutra condição, o operador de diferenciação fracionária de Caputo é aplicável, sendo as condições iniciais padrão em termos de derivadas de ordem inteira estão envolvidas. Estas condições iniciais têm clara interpretação física como uma posição inicial  y(a)  no ponto a , a velocidade inicial  y’ ( a) , a aceleração inicial    ”(a)  e assim por diante. Esta é principal vantagem do operador fracionário de Caputo sobre o operador de Riemann-Liouville. Além disso, a transformada de Laplace da derivada fracionária Caputo é uma generalização da transformada de Laplace da derivada de ordem inteira, onde n  é substituído por α . O mesmo não se aplica ao caso do operador de Riemann-Liouville; esta propriedade é uma vantagem importante do operador de Caputo sobre o operador de Riemann-Liouville 32 . A derivada fracionária de Riemann-Liouville impõe fortemente a interpretação física das condições iniciais requeridas para os problemas de valor inicial, envolvendo equações diferenciais fracionárias. Além disso, este operador possui vantagens de convergência rápida, alta estabilidade e maior precisão para derivar diferentes tipos de algoritmos numéricos 9 . A integral de ordem fracionária da função  f   de ordem α > 0  é definida por    f(t) = ∫ [    a-1  /Γ  (a)]  f(τ)dτ   . Quando a = 0 , é escrito    f(t) = f(t) *   Φ α (t  ), onde ( * ) denota o produto de convolução, Φ α (t) = t  α -1  /Γ(α)   para t > 0  e Φ α (t) =0  para t ≤ 0 , e Φ α   → δ(t) , onde δ(t)  é a função delta de Dirac. A derivada de ordem fracionária da função  f   de ordem 0 ≤ α < 1  vale    f(t) = d/dt [ ∫ [   α  /Γ(1 - α)] f(τ)dτ = d/dt [   −  f(t)] . Quando a = 0 ,  D α   t     =[  Γ  (   +1) /  Γ  (   - α +1)] t    - α  onde   > -1  e 0 < α < 1 , sendo que  I  α  t     = [  Γ  (   +1) /  Γ  (   + α +1)] t    + α  onde   > -1  e α  > 0 . Já derivada fracionária de Caputo de ordem μ > 0 é definida, para uma função suave por c    f(t) = ∫ [   n-   -1  /Γ(n -  )] f  (n) τ dτ  , onde   = [] + 1 , sendo que a notação   []  indica o maior inteiro não maior que   . Deve ser observado que existe uma relação entre o operador diferencial de Riemann-Liouville e o operador de Caputo:    f(t) =  c    f(t) + [1 /  Γ  (1-   )] f(a)/(t-a)   , e eles são equivalentes num problema físico que especifica as condições iniciais 12 . AUTO-ORGANIZAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS E CÁLCULO FRACIONÁRIO Todos os operadores fracionários consideram a história inteira do processo sob consideração, sendo então capazes de modelizar os efeitos não locais e distribuídos as vezes encontrados em fenômenos naturais e técnicos, oferecendo um instrumento para a descrição da memória, da hereditariedade, da não localidade, da auto-similaridade e da
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