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Programme pour le cycle 4

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Programme pour le cycle 4 Cycle 4 Mathématiques Le programme de mathématiques est rédigé pour l ensemble du cycle. Les connaissances et compétences visées sont des attendus de la fin du cycle. Pour y parvenir,
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Programme pour le cycle 4 Cycle 4 Mathématiques Le programme de mathématiques est rédigé pour l ensemble du cycle. Les connaissances et compétences visées sont des attendus de la fin du cycle. Pour y parvenir, elles devront être travaillées de manière progressive et réinvesties sur toute la durée du cycle. Des repères de progressivité indiquent en particulier quelles notions ne doivent pas être introduites dès le début du cycle, mais seulement après que d autres notions ont été rencontrées, puis stabilisées. Ce programme est ancré dans les cinq domaines du socle, et il est structuré selon les quatre thèmes classiques : nombres et calculs ; organisation et gestion de données, fonctions ; grandeurs et mesures ; espace et géométrie. En outre, un enseignement de l informatique est dispensé conjointement en mathématiques et en technologie. Ces domaines du socle et ces thèmes du programme ne sont évidemment pas étanches. La mise en œuvre du programme doit permettre de développer les six compétences majeures de l activité mathématique : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer, qui sont détaillées dans le tableau ci-après. Pour ce faire, une place importante doit être accordée à la résolution de problèmes, qu ils soient internes aux mathématiques, ou liés à des situations issues de la vie quotidienne ou d autres disciplines. Le programme fournit des outils permettant de modéliser des situations variées sous forme de problèmes mathématisés. La résolution de problèmes nécessite de s appuyer sur un corpus de connaissances et de méthodes. Les élèves doivent disposer de réflexes intellectuels et d automatismes tels que le calcul mental, qui, en libérant la mémoire, permettent de centrer la réflexion sur l élaboration d une démarche. La formation au raisonnement et l initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. Le raisonnement, au cœur de l activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique, mais également mise au point d un programme qui doit tourner sur un ordinateur ou pratique de jeux pour lesquels il faut développer une stratégie gagnante, individuelle ou collective, ou maximiser ses chances). Les pratiques d investigation (essai-erreur, conjecture-validation, etc.) sont essentielles et peuvent s appuyer aussi bien sur des manipulations ou des recherches papier/crayon, que sur l usage d outils numériques (tableurs, logiciels de géométrie, etc.). Il est important de ménager une progressivité dans l apprentissage de la démonstration et de ne pas avoir trop d exigences concernant le formalisme. 366 L explicitation de la démarche utilisée et la rédaction d une solution participent au développement des compétences de communication orale et écrite. Le programme donne une place importante à l utilisation des nombres. L introduction de nouveaux nombres (nombres rationnels, racine carrée) peut utilement s appuyer sur un travail des grandeurs et mesures ou de la géométrie. L extension des procédures de calcul (addition, soustraction, multiplication, division) aux nombres rationnels et l introduction du calcul littéral doivent s appuyer sur des situations permettant de construire le sens des nombres et des opérations. Au cycle 3, l élève a commencé à passer d une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par l observation et l instrumentation à une géométrie dont la validation s appuie sur le raisonnement et l argumentation. Ces nouvelles formes de validation sont un objectif majeur du cycle 4. En fin de cycle, de nouvelles transformations géométriques sont étudiées à travers des activités de description et de construction, pouvant s appuyer sur l utilisation de logiciels. Au cycle 4, l élève développe son intuition en passant d un mode de représentation à un autre : numérique, graphique, algébrique, géométrique, etc. Ces changements de registre sont favorisés par l usage de logiciels polyvalents tels que le tableur ou les logiciels de géométrie dynamique. L utilisation du tableur et de la calculatrice est nécessaire pour gérer des données réelles et permet d inscrire l activité mathématique dans les domaines 3, 4 et 5 du socle. L enseignement de l informatique au cycle 4 n a pas pour objectif de former des élèves experts, mais de leur apporter des clés de décryptage d un monde numérique en évolution constante. Il permet d acquérir des méthodes qui construisent la pensée algorithmique et développe des compétences dans la représentation de l information et de son traitement, la résolution de problèmes, le contrôle des résultats. Il est également l occasion de mettre en place des modalités d enseignement fondées sur une pédagogie de projet, active et collaborative. Pour donner du sens aux apprentissages et valoriser le travail des élèves, cet enseignement doit se traduire par la réalisation de productions collectives (programme, application, animation, sites, etc.) dans le cadre d activités de création numérique, au cours desquelles les élèves développent leur autonomie, mais aussi le sens du travail collaboratif. La pratique des mathématiques, en particulier les activités de recherche, amène les élèves à travailler sur des notions ou des objets mathématiques dont la maîtrise n est pas attendue en fin de troisième (par exemple, irrationalité de certains nombres, caractéristiques de dispersion d une série statistique autres que l étendue, modélisation de phénomènes aléatoires, calculs de distances astronomiques, droites remarquables dans un triangle, travail sur les puissances et capacité de stockage) ; c est aussi l occasion d enrichir leur culture scientifique. 367 Compétences travaillées Chercher Extraire d un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à ses connaissances. S engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter (sur une feuille de papier, avec des objets, à l aide de logiciels), émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, émettre une conjecture. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution. Décomposer un problème en sous-problèmes. Domaines du socle : 2, 4 Modéliser Reconnaître des situations de proportionnalité et résoudre les problèmes correspondants. Traduire en langage mathématique une situation réelle (par exemple, à l aide d équations, de fonctions, de configurations géométriques, d outils statistiques). Comprendre et utiliser une simulation numérique ou géométrique. Valider ou invalider un modèle, comparer une situation à un modèle connu (par exemple un modèle aléatoire). Domaines du socle : 1, 2, 4 Représenter Choisir et mettre en relation des cadres (numérique, algébrique, géométrique) adaptés pour traiter un problème ou pour étudier un objet mathématique. Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres. Représenter des données sous forme d une série statistique. Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides (par exemple, perspective ou vue de dessus/de dessous) et de situations spatiales (schémas, croquis, maquettes, patrons, figures géométriques, photographies, plans, cartes, courbes de niveau). Domaines du socle : 1, 5 Raisonner Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, économiques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre à l essai plusieurs solutions. Mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d autrui. Démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion. Fonder et défendre ses jugements en s appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l argumentation. Domaines du socle : 2, 3, 4 368 Calculer Calculer avec des nombres rationnels, de manière exacte ou approchée, en combinant de façon appropriée le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté (calculatrice ou logiciel). Contrôler la vraisemblance de ses résultats, notamment en estimant des ordres de grandeur ou en utilisant des encadrements. Calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symboles, etc.). Domaines du socle : 4 Communiquer Faire le lien entre le langage naturel et le langage algébrique. Distinguer des spécificités du langage mathématique par rapport à la langue française. Expliquer à l oral ou à l écrit (sa démarche, son raisonnement, un calcul, un protocole de construction géométrique, un algorithme), comprendre les explications d un autre et argumenter dans l échange. Vérifier la validité d une information et distinguer ce qui est objectif et ce qui est subjectif ; lire, interpréter, commenter, produire des tableaux, des graphiques, des diagrammes. Domaines du socle : 1, 3 369 Thème A - Nombres et calculs Au cycle 4, les élèves consolident le sens des nombres et confortent la maitrise des procédures de calcul. Les différentes composantes de ce thème sont reliées entre elles. Les élèves manipulent des nombres rationnels de signe quelconque. Ils prennent conscience du fait qu un même nombre peut avoir plusieurs écritures (notamment écritures fractionnaire et décimale). Les élèves abordent les bases du calcul littéral, qu ils mettent en œuvre pour résoudre des problèmes faisant intervenir des équations ou inéquations du premier degré. A l occasion d activités de recherche, ils peuvent rencontrer la notion de nombres irrationnels, par exemple lors d un travail sur les racines carrées. Attendus de fin de cycle Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Utiliser le calcul littéral Connaissances et compétences associées Exemples de situations, d activités et de ressources pour l élève Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Utiliser diverses représentations d un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d une représentation à une autre. Nombres décimaux. Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d opposé. Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales. Définition de la racine carrée ; les carrés parfaits entre 1 et 144. Les préfixes de nano à giga. Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels. Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée. Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire. Égalité de fractions. Rencontrer diverses écritures dans des situations variées (par exemple nombres décimaux dans des situations de vie quotidienne, notation scientifique en physique, nombres relatifs pour mesurer des températures ou des altitudes). Relier fractions, proportions et pourcentages. Associer à des objets des ordres de grandeurs (par exemple, la taille d un atome, d une bactérie, d une alvéole pulmonaire, la longueur de l intestin, la capacité de stockage d un disque dur, la vitesse du son et de la lumière, la population française et mondiale, la distance de la Terre à la Lune et au Soleil, la distance du Soleil à l étoile la plus proche). Prendre conscience que certains nombres ne sont pas rationnels. Montrer qu il est toujours possible d intercaler des rationnels entre deux rationnels donnés, contrairement au cas des entiers. 370 Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté. Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient). Vérifier la vraisemblance d un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique. Définition des puissances d un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs). Pratiquer régulièrement le calcul mental ou à la main, et utiliser à bon escient la calculatrice ou un logiciel. Effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes (par exemple, comparer des consommations d eau ou d électricité, calculer un indice de masse corporelle pour évaluer un risque éventuel sur la santé, déterminer le nombre d images pouvant être stockées sur une clé USB, calculer et comparer des taux de croissance démographique). Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Déterminer si un entier est ou n est pas multiple ou diviseur d un autre entier. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Division euclidienne (quotient, reste). Multiples et diviseurs. Notion de nombres premiers. Mettre un problème en équation en vue de sa résolution. Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples. Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré. Notions de variable, d inconnue. Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture. Utiliser le calcul littéral Recourir à une décomposition en facteurs premiers dans des cas simples. Exploiter tableurs, calculatrices et logiciels, par exemple pour chercher les diviseurs d un nombre ou déterminer si un nombre est premier. Démontrer des critères de divisibilité (par exemple par 2, 3, 5 ou 10) ou la preuve par 9. Etudier des problèmes d engrenages (par exemple braquets d un vélo, rapports de transmission d une boîte de vitesses, horloge), de conjonction de phénomènes périodiques (par exemple éclipses ou alignements de planètes). Comprendre l intérêt d une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables (en mathématiques ou dans d autres disciplines). Tester sur des valeurs numériques une égalité littérale pour appréhender la notion d équation. Etudier des problèmes qui se ramènent au premier degré (par exemple, en factorisant des équations produits simples à l aide d identités remarquables). Montrer des résultats généraux, par exemple que la somme de trois nombres consécutifs est divisible par 3. Repères de progressivité La maitrise des techniques opératoires et l acquisition du sens des nombres et des opérations appréhendés au cycle 3 sont consolidées tout au long du cycle 4. Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui rend possible toutes les soustractions. Ils généralisent l addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d opposé. Puis ils passent au produit et au quotient, et, quand ces notions ont été bien installées, ils font le lien avec le calcul littéral. 371 Au cycle 3, les élèves ont rencontré des fractions simples sans leur donner le statut de nombre. Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. En 5 e, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel. À partir de la 4 e, ils sont conduits à additionner, soustraire, multiplier et diviser des quotients, à passer d une représentation à une autre d un nombre, à justifier qu un nombre est ou non l inverse d un autre. Ils n abordent la notion de fraction irréductible qu en 3 e. La notion de racine carrée est introduite en lien avec le théorème de Pythagore ou l agrandissement des surfaces. Les élèves connaissent quelques carrés parfaits, les utilisent pour encadrer des racines par des entiers, et utilisent la calculatrice pour donner une valeur exacte ou approchée de la racine carrée d un nombre positif. Les puissances de 10 d exposant entier positif sont manipulées dès la 4 e, en lien avec les problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs sont introduits progressivement. Les puissances positives de base quelconque sont envisagées comme raccourci d un produit. Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l intérêt d utiliser une écriture littérale. Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure. À partir de la 4 e, ils rencontrent les notions de variables et d inconnues, la factorisation, le développement et la réduction d expressions algébriques. Ils commencent à résoudre, de façon exacte ou approchée, des problèmes du 1 er degré à une inconnue, et apprennent à modéliser une situation à l aide d une formule, d une équation ou d une inéquation. En 3 e, ils résolvent algébriquement équations et inéquations du 1 er degré, et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. Ils font le lien entre forme algébrique et représentation graphique. Thème B - Organisation et gestion de données, fonctions La plupart des notions travaillées dans ce thème ont déjà été abordées aux cycles précédents. Au cycle 4, les élèves apprennent à utiliser une représentation adaptée de données pour en faire une interprétation critique. Ils abordent les notions d incertitude et de hasard, afin de construire une citoyenneté critique et rationnelle. Ils apprennent à choisir une méthode adaptée au problème de proportionnalité auquel ils sont confrontés. Ils découvrent progressivement la notion de fonction, qui leur permet d accéder à de nouvelles catégories de problèmes. Attendus de fin de cycle Interpréter, représenter et traiter des données Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités Résoudre des problèmes de proportionnalité Comprendre et utiliser la notion de fonction 372 Connaissances et compétences associées Recueillir des données, les organiser. Lire des données sous forme de données brutes, de tableau, de graphique. Calculer des effectifs, des fréquences. Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes). Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d une série statistique. Indicateurs : moyenne, médiane, étendue. Interpréter, représenter et traiter des données Exemples de situations, d activités et de ressources pour l élève Utiliser un tableur, un grapheur pour calculer des indicateurs et représenter graphiquement les données. Porter un regard critique sur des informations chiffrées, recueillies, par exemple, dans des articles de journaux ou sur des sites web. Organiser et traiter des résultats issus de mesures ou de calculs (par exemple, des données mises sur l environnement numérique de travail par les élèves dans d autres disciplines) ; questionner la pertinence de la façon dont les données sont collectées. Lire, interpréter ou construire un diagramme dans un contexte économique, social ou politique : résultats d élections, données de veille sanitaire (par exemple consultations, hospitalisations, mortalité pour la grippe), données financières relatives aux ménages (par exemple impôts, salaires et revenus), données issues de l étude d un jeu, d une œuvre d art Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples. Calculer des probabilités dans des cas simples. Notion de probabilité. Quelques propriétés : la probabilité d un événement est comprise entre 0 et 1 ; probabilité d évènements certains, impossibles, incompatibles, contraires. Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité. Résoudre des problèmes de proportionnalité Faire le lien entre fréquence et probabilité, en constatant matériellement le phénomène de stabilisation des fréquences ou en utilisant un tableur pour simuler une expérience aléatoire (à une ou à deux épreuves). Exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage). Calculer des probabilités dans un contexte simple (par exemple, évaluation des chances de gain dans un jeu et choix d une stratégie). Étudier des relations entre deux grandeurs mesurables pour identifier si elles sont proportionnelles ou non ; ces relations peuvent être exprimées par : des formules (par exemp
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